凸包算法是计算几何中的最经典问题之一了。给定一个点集，计算其凸包。凸包是什么就不罗嗦了
本文给出了《计算几何——算法与应用》中一书所列凸包算法的Python实现和Matlab实现，并给出了一个Matlab动画演示程序。
啊，实现谁都会实现啦╮(╯▽╰)╭，但是演示就不一定那么好做了。
算法CONVEXHULL(P) 输入：平面点集P 输出：由CH(P)的所有顶点沿顺时针方向组成的一个列表1. 根据x-坐标，对所有点进行排序，得到序列p1, …, pn2. 在Lupper中加入p1和p2（p1在前）3. for(i←3 ton) 4. do 在Lupper中加入pi5. while(Lupper中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐) 6. do 将倒数第二个顶点从Lupper中删去7. 在Llower 中加入pn和pn-1（pn在前）8. for(i←n-2 downto1) 9. do 在Llower 中加入pi10. while(Llower 中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐) 11. do 将倒数第二个顶点从Llower 中删去12. 将第一个和最后一个点从Llower 中删去（以免在上凸包与下凸包联接之后，出现重复顶点）13. 将Llower 联接到Lupper后面（将由此得到的列表记为L）14. return(L)
看看，不是很多的样子是吧。
这里面需要说明的地方只有一点，那就是方向的判定问题。设有三个点P，Q，R，现需求R位于向量PQ的左侧还是右侧(或者R在PQ上)。
计算PR与PQ的叉积，也就是外积。
如果将向量PR以P为旋转中心旋转只向量PQ的方向走过一个正角(逆时针)，意味着R在PQ的右侧，此时外积为正。
另外需要注意的是，如果在凸包上有三点共线的情况，在本例中三点是均位于凸包边界点集中的。如果想避免这一点，可以通过微量抖动数据的方式解决。
废话不多说，Python实现如下：
1 #!/usr/bin/env python 2 # coding: gbk 3 4 ######################################################################## 5 #Author: Feng Ruohang 6 #Create: 2014/10/02 13:39 7 #Digest: Computate the convex hull of a given point list 8 ######################################################################## 9 10 11 direction = lambda m: (m[2][0] - m[0][0]) * (m[1][1] - m[0][1]) - (m[1][0] - m[0][0]) * (m[2][1] - m[0][1])12 '''13 A Quick Side_check version Using Lambda expression14 Input: Given a list of three point : m should like [(p_x,p_y), (q_x,q_y), (r_x,r_y)]15 Output: Return a Number to indicate whether r on the right side of vector(PQ).16 Positive means r is on the right side of vector(PQ).17 This is negative of cross product of PQ and PR: Defined by:(Qx-Px)(Ry-Py)-(Rx-Px)(Qy-Py)18 Which 'negative' indicate PR is clockwise to PQ, equivalent to R is on the right side of PQ19 '''20 21 22 def convex_hull(point_list):23 '''24 Input: Given a point List: A List of Truple (x,y)25 Output: Return a point list: A List of Truple (x,y) which is CONVEX HULL of input26 For the sake of effeciency, There is no error check mechanism here. Please catch outside27 '''28 n = len(point_list) #Total Length29 point_list.sort()30 31 #Valid Check:32 if n < 3:33 return point_list34 35 #Building Upper Hull: Initialized with first two point36 upper_hull = point_list[0:1]37 for i in range(2, n):38 upper_hull.append(point_list[i])39 while len(upper_hull) >= 3 and not direction(upper_hull[-3:]):40 del upper_hull[-2]41 42 #Building Lower Hull: Initialized with last two point43 lower_hull = [point_list[-1], point_list[-2]]44 for i in range(n - 3, -1, -1): #From the i-3th to the first point45 lower_hull.append(point_list[i])46 while len(lower_hull) >= 3 and not direction(lower_hull[-3:]):47 del lower_hull[-2]48 upper_hull.extend(lower_hull[1:-1])49 return upper_hull50 51 52 #========Unit Test:53 if __name__ == '__main__':54 test_data = [(i, i ** 2) for i in range(1, 100)]55 result = convex_hull(test_data)56 print result57 58 2015年1月23日
使用很简单，看DocString就行。
下面顺便给出了Matlab 的实现，以及可视化的算法演示：
效果就是个小动画，像这样吧。
Matlab的凸包算法有三个文件：
side_check2：检查三个点构成的弯折的方向
Convex_hull: 凸包算法Matlab实现
Convex_hull_demo：凸包算法的演示。
拷在一个目录里
运行convex_hull_demo( randn(200,2)*100); 就可以看到可视化演示了
这个是辅助函数
%filename: side_check2.m%Input: Matrix of three point: (2x3 or 3x2)% P(p_x,p_y),Q(q_x,q_y),R(r_x,r_y)%Output: 如果P Q R三点构成一个右拐，返回True% 右拐意味着点R在PQ向量的右侧.此时function result = side_check2(D)if all(size(D) ~= [3,2]) if all(size(D)==[2,3]) D = D'; else error('error dimension') endendresult = (det([[1;1;1], D]) < 0 ); 这个是纯算法实现。
%filename: convex_hull.m%CONVEX_HULL%INPUT: Point Set:(n x 2)%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)function L=t(P)[num,dimension] = size(P);if dimension ~= 2 error('dimension error')endP = sortrows(P,[1,2]);%if there is only one or two point remain,return itif num < 3 L = P; return end%STEP ONE: Upper Hull:L_upper = P([1,2],:); %Take first two pointsfor i = 3:num L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list while size(L_upper,1) >= 3 l_size = size(L_upper,1); if det([ones(3,1),L_upper(l_size-2:l_size,:)])= 3 l_size = size(L_lower,1); if det([ones(3,1),L_lower(l_size-2:l_size,:)]) 这个是演示：
%CONVEX_HULL%INPUT: Point Set:(n x 2)%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)%Samples: convex_hull_demo( randn(200,2)*100)function L=convex_hull_demo(P)%Test Data%data_size = data_size%P = randi([-50,50],[data_size,2]);[num,dimension] = size(P);if dimension ~= 2 error('dimension error')endP = sortrows(P,[1,2]);%====Visual Lizationboard_left = min(P(:,1));board_right = max(P(:,1));board_bottom = min(P(:,2));board_up = max(P(:,2));x_padding = (board_right- board_left)*0.1;y_padding = (board_up- board_bottom)*0.1;plot_range= [board_left - x_padding,board_right + x_padding,board_bottom-y_padding,board_up+y_padding];clf;scatter(P(:,1),P(:,2),'b.');axis(plot_range);hold on%====VisualLization%if there is only one or two point remain,return itif num < 3 L = P;end%STEP ONE: Upper Hull:L_upper = P([1,2],:); %Take first two pointshull_handle = plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'ob-');for i = 3:num L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list while size(L_upper,1) >= 3 l_size = size(L_upper,1); if side_check2(L_upper(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid break; %Quit if Valid else L_upper(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not end set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow; end set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;end %Visualization plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'bo-'); %Visualization %STEP Two: Build the lower hullL_lower = [P([num,num-1],:)]; % Add P(n) and P(n-1)set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;for i = num-2:-1:1 L_lower = [L_lower;P(i,:)]; while size(L_lower,1) >= 3 l_size = size(L_lower,1); if side_check2(L_lower(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid break; %Quit if Valid else L_lower(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not end set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow; end set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;endL_lower([1,size(L_lower,1)],:) = [];if isempty(L_lower) L = L_upper;else L = [L_upper;L_lower(2:size(L_lower,1)-1,:)];endhold off;return